Question

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）
（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

Answer

本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
【解析】
（1）如图所示：

（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．

（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．
理由如下：
∠HEF=∠HEG+∠GEF=47.8°+35.1°=82.9°，
∠EHF=50.0°，∠EFH=47.1°，
∴△EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，
设此外接圆为⊙O，直线EG与⊙O交于点E，M，则
∠EMF=∠EHF=50.0°＜53.8°=∠EGF．
故点G在⊙O内，从而⊙O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．
所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．