Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，则下列结论：①∠BCD=60°；②四边形EHCF为菱形；③S_△BEH=S_△CEH；④以AB为直径的圆与CD相切于点F，其中正确结论的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四边形ABHD是矩形，故AD=BH，从而可求CH，利用三角函数可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位线定理，及F时CD中点，可证四边形EHCF是菱形；△BEH与△EHC时等高的两个三角形，求面积比，也就是求底边的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半与EF比较，相等则切于F，否则不成立．
【解析】
在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四边形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=CD=2，
∴四边形EHCF是菱形，
∵S△BEH=BH•EB=×1×EB=EB，
S△CEH=CH•EB=×2×EB=EB，
∴S△BEH=S△CEH．
以AB的直径的圆的半径为，而EF=2，R≠EF．
所以AB为直径的圆与CD不相切于点F．
则①②③正确．故选B．