Question

在关于x的方程x²-2ax+b²=0中，a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，且这个方程的两根之差的绝对值为8．则这个三角形的内切圆面积是    ．

Answer

先根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=b2，利用（x1+x2）2-4x1x2=64可列方程4a2-b2=64；再根据a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，可得到S△=b××=12，与4a2-b2=64联立方程即可解得b，a的值；再设内切圆半径为x，利用AD2+DF2=AF2=（AE-EF）2，列方程22+x2=（4-x）2，解得半径x，代入三角形的内切圆面积公式即可求解．
【解析】
如图，AB=AC=a，BC=b，AE⊥BC，FD⊥AB，圆F是△ABC的内切圆，
∴BE=BC=b，AE==；
∵x1+x2=2a，x1x2=b2，
又∵|x1-x2|=8，
∴（x1+x2）2-4x1x2=64，即4a2-b2=64；
∵a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，
∴S△=b××=12，
与4a2-b2=64联立方程解得，b=6，a=5；
设内切圆半径为x，则
EF=DF=x，
∴BE=BD=3，AD=AB-BD=5-3=2，AD2+DF2=AF2=（AE-EF）2，
∴22+x2=（4-x）2，
解得x=；
∴三角形的内切圆面积=π×（）2=．