Question

如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
（1）当E是CD的中点时：
①tan∠EAB的值为______；
②证明：FG是⊙O的切线；
（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．

Answer

（1）①在Rt△ADE中，已知了DE、AD的长，可求出∠DEA的正切值．由于∠DEA和∠EAB是两条平行线的内错角，因此它们的正切值相等，由此得解；
②连接OF，证OF⊥FG即可．由于O、F分别是AE、AB的中点，因此OF是△ABE的中位线，即OF∥BE，由于FG⊥BE，可证得OF⊥FG，即可得出所证的结论；
（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．易证得△ADE∽△ECB，可得：AD：DE=EC：CB；设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，代入上面的比例关系中，可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．
【解析】
（1）①过E作EH⊥AB于点H，则EF=AD=3，AF=DE=AB=，
故tan∠EAB===；

②法一：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE，
又CE=DE，
∴△ADE≌△BCE，
得AE=BE，∠EAB=∠EBA．
连接OF，则OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，∠OFA=∠EBA．
∴OF∥EB．
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线．
（法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．）
（2）法一：假设BE能与⊙O相切．
∵AE是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，则∠DEA+∠BEC=90°．
又∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠DEA=∠EBC，
∴Rt△ADE∽Rt△CEB，
∴．
设DE=x，则EC=5-x，AD=BC=3，
得，
整理得x2-5x+9=0．
∵b2-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
法二：若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°．
设DE=x，则EC=5-x．
由勾股定理得：AE2+EB2=AB2，
即（9+x2）+[（5-x）2+9]=25，
整理得x2-5x+9=0，
∵b2-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
（法三：本题可以通过判断以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解）