Question

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．

Answer

（1）连接OC，根据切线的性质可知OC⊥PC，则△OPC为直角三角形，OC=3，可根据锐角三角函数的定义求出PC的值；
（2）从PM是∠APC的角平分线可知∠CPM=∠MPA，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出∠CMP=∠A+∠MPA=45度．因为∠A与∠CPA为定值，故∠CMP的大小不发生变化．
【解析】
（1）连接OC，PM，
PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°；
∵∠CPA=30°，OC==3，
∴tan30°==，即PC=；（5分）

（2）∠CMP的大小不发生变化；（2分）
∵PM是∠CPA的平分线，
∴∠CPM=∠MPA，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO；
在△APC中，
∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，
∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°，
∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°；  （5分）
即∠CMP的大小不发生变化，为45°．