Question

如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延长线上一点，BE=．判断直线DE与半圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer

直线DE与半圆O相切．连接OD，作OF⊥CD于点F，作DG⊥OE于点G．通过勾股定理求得OF的长，由已知可得到四边形OFDG是矩形，从而便可求得DG，GE的长，再通过勾股定理判定CD⊥DE，从而证明得到直线DE与半圆O相切．
【解析】
直线DE与半圆O相切．（1分）
证法一：
连接OD，作OF⊥CD于点F．
∵CD=6，
∴DF=CD=3．（2分）
∵OE=OB+BE=5+=．（3分）
∴，
∴．（6分）
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．（7分）
∴△DOF∽△OED，（8分）
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与半圆O相切．（10分）

证法二：连接OD，作OF⊥CD于点F，作DG⊥OE于点G．
∵CD=6，
∴DF=CD=3．
在Rt△ODF中，OF==4，（3分）
∵CD∥AB，DG⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OFDG是矩形，
∴DG=OF=4，OG=DF=3．
∵OE=OB+BE=5+，GE=OE-OG=，（5分）
在Rt△DGE中，DE=．
∵，
∴OD2+DE2=OE2，（8分）
∴CD⊥DE．
∴直线DE与半圆O相切．（10分）