Question

如图，AB是半圆O的直径，C是半径OA上一点，PC⊥AB，点D是半圆上位于PC右侧的一点，连接AD交线段PC于点E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x，PD²=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当x=1时，求tan∠BAD的值．

Answer

（1）D要证明PD是⊙O的切线，只需证明OD和PD垂直即可．
（2）设PC与⊙O交于F点，连接OF，根据勾股定理求得CF，PF的值，再根据切割线定理求出函数关系式，从而不难求得tan∠BAD的值．
（1）证明：连接OD，则∠OAE=∠ODE，
∵PC⊥AB，
∴∠OAE+∠CEA=90°．
∵PD=PE，
∴∠CEA=∠PED=∠PDE．
∴∠ODE+∠PDE=90°．
即PD是⊙O的切线．

（2）【解析】
①设PC与⊙O交于F点，连接OF，
∵PC⊥AB，
∴在Rt△CFO中，CF=．
∵⊙O的半径为4，OC=x，
∴CF=．
∵PD2=（8+）（8-）=48+x2
∴y=x2+48．
②当x=1时，y=49，即PD=PE=7，OC=1，
∴EC=1，AC=3．
∴tan∠BAD=．