Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连接OD，OB，DE．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）求sin∠ABO的值．

Answer

（1）连接CD；根据等腰三角形的性质，结合角之间的互余运算，易得∠EDO=90°，即可证出OD⊥DE；
（2）过O作OF⊥AD；构造直角三角形BOC；再根据等边三角形的性质，易得BO与OF的值，在三角函数公式中代入数据可得答案．
（1）证明：连接CD，∵AC是直径，∴∠ADC=∠BDC=90°，（2分）
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=EC．（3分）
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．（4分）
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，（5分）
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE．（6分）

（2）【解析】
过O作OF⊥AD；（7分）
∵在Rt△ABC中，tanA==，
∴∠A=60°，∴△AOD是边长为2的等边三角形，
∴OF=．（8分）
在Rt△BOC中，BO=，（9分）
∴sin∠ABO=．（10分）