Question

如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5．
（1）求PE的长；
（2）求△COD的面积．

Answer

（1）在⊙O中，根据割线定理，得PC•PD=PA•PB；在⊙O′中，由切割线定理，得PE2=PA•PB；联立两式得PE2=PC•PD，由此可求出PE的长．
（2）△COD中，已知底边CD的长，需求出CD边上的高；过O作CD的垂线，设垂足为F；由垂径定理得CF=FD=4；在Rt△COF中，已知了OC的长，可用勾股定理求出OF的长；进而可根据三角形的面积公式求得△COD的面积．
【解析】
（1）∵PD、PB分别交⊙O于C、D和A、B；
根据割线定理得PA•PB=PC•PD．
又∵PE为⊙O′的切线，PAB为⊙O′的割线；
根据切割线定理得PE2=PA•PB．
即PE2=PC•PD=4×（4+8）=48；
∴PE=4．

（2）在⊙O中过O点作OF⊥CD，垂足为F；
根据垂径定理知OF平分弦CD，即CF=CD=4；
在Rt△OFC中，OF2=OC2-CF2=52-42=9；
∴OF=3；
∴S△COD=CD•OF=×8×3=12个面积单位．