Question

如图，AB是⊙O₁与⊙O₂的公共弦，O₁在⊙O₂上，BD，O₁C分别是⊙O₁与⊙O₂的直径，CA与BD的延长线交于E点，AB与O₁C相交于M点．
（1）求证：EA是⊙O₁的切线；
（2）连接AD，求证：AD∥O₁C；
（3）若DE=1，设⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r，R，且，求r的长．

Answer

（1）连接O1A，根据圆周角的性质，易得O1A⊥AE；故AE是⊙O1的切线．
（2）根据圆周角定理，可得∠O1BA=∠O1CA；在⊙O1中，根据弦切角定理易得∠DAE=∠O1BA；变化可得AD∥O1C；
（3）根据题意有R=2r；在Rt△AO1C中根据切割线定理可得O1M=r；再根据平行线的性质；易得，代入数据即可得到答案．
（1）证明：连接O1A，（1分）
∵O1C是⊙O2的直径，
∴∠O1AC=90°，（2分）
∴O1A⊥AE．
又∵点A在⊙O1上，
∴AE是⊙O1的切线．（3分）

（2）证明：在⊙O2中，∠O1BA与∠O1CA都是上的圆周角，
∴∠O1BA=∠O1CA．（4分）
在⊙O1中，由弦切角定理，得∠DAE=∠O1BA，（5分）
∴∠O1CA=∠DAE．（6分）
∴AD∥O1C．（7分）

（3）【解析】
∵，R=2r，
在Rt△AO1C中，O1A2=O1M•O1C，r2=O1M•2R=O1M•4r，
即O1M=r．（8分）
∵在Rt△BAD中，O1M∥AD，
∴．
即，．①
∵在△EO1C中，AD∥O1C，
∴
即；②（9分）
由①和②得，解之，得r=7．（10分）

（3）解法二：∵∠DBA=∠O1CA，∠DAB=∠O1AC=90°，
∴△DBA∽△O1CA．
又∵，
∴．（8分）
设DA=x，
∴O1D=O1A=2x，O1C=8x．
∵DA∥O1C，ED=1，EO1=1+2x，
∴，（9分）
解之，得．
∴r=2x=7．（10分）