Question

（1）计算：如图①，直径为a的三等圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，切点分别为A、B、C，求O₁A的长（用含a的代数式表示）；
（2）探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度h_n和h_n′（用含n、a的代数式表示）；
（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）

Answer

（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理进行求解；
（2）n个圆的直径即为②中的高，根据等边三角形的性质和勾股定理进行计算③中的高；
（3）结合上述结论进行分析．
【解析】
（1）∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，
∴O1O2=O2O3=O1O3=a
又∵O2A=O3A
∴O1A⊥O2O3（1分）
∴O1A=
=．

（2）hn=na，
hn′=（n-1）a+a．

（3）方案一：0.1n≤3.1，
n≤31，
31×31=961．
方案二装运钢管最多．即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多．
根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，
设钢管的放置层数为n，可得，
解得n≤35.6．
∵n为正整数，
∴n=35．
钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）．