Question

如图，已知：⊙O₁、⊙O₂外切于点P，A是⊙O₁上一点，直线AC切⊙O₂于点C交⊙O₁于点B，直线AP交⊙O₂于点D．
（1）求证：PC平分∠BPD；
（2）将“⊙O₁、⊙O₂外切于点P”改为“⊙O₁、⊙O₂内切于点P”，其它条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论．

Answer

（1）欲证PC平分∠BPD，即证∠BPC=∠CPD，可以过点P作两圆的公切线PM交AC于点M，根据切线的性质得出∠BPM=∠A，∠MPC=∠C，再通过角与角相互间的关系得出；
（2）同（1），只是∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA．
证明：（1）如图1，过点P作两圆的公切线MP，交AC于点M．
则∠BPM=∠A，∠MPC=∠C．
∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD，
∴PC平分∠BPD；

（2）如图2，过点P作两圆的公切线PM，
则∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP=∠PDC；
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，
∴PC平分∠BPD．