Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，外公切线AB切⊙O₁于点A，切⊙O₂于点B，
（1）求证：AP⊥BP；
（2）若⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r和R，求证：；
（3）延长AP交⊙O₂于C，连接BC，若r：R=2：3，求tan∠C的值．

Answer

（1）连接O2B，O1A，则AO1⊥AB，O2B⊥AB，所以AO1∥O2B，过点P作两圆的公切线PF，交于AB于点F，作O1E⊥AP，O2D⊥BP．由垂径定理可证得，点E，点D分别是AP，BP的中点，由弦切角定理和平行线的性质，可得到∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，即AP⊥BP；
（2）设∠ABP=∠BO2D=∠APO1=β，利用正切的概念，求得（tanβ）2==；
（3）由于∠ABP=∠C，故由（2）的结果，可得到tan∠C的值．
（1）证明：如图，连接O2B，O1A，则AO1⊥AB，O2B⊥AB，所以AO1∥O2B，
过点P作两圆的公切线PF，交于AB于点F，作O1E⊥AP，O2D⊥BP．
根据垂径定理，得点E，点D分别是AP，BP的中点．
根据弦切角定理知，∠ABP=∠FPB=∠BO2P，∠BAP=∠FPA=∠AO1P．
∵AO1∥O2B，
∴∠AO1P+∠BO2P=180°，
∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，
即AP⊥BP；

（2）证明：∵△APB是直角三角形．
∴∠ABP=∠BO2D=∠APO1．
设∠ABP=∠BO2D=∠APO1=β，则有sinβ=，cosβ=．
∴tanβ=•=•，
∴（tanβ）2==，
∴=．

（3）【解析】
∵∠ABP=∠C，
∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP==．