Question

如图，半径分别为4cm和3cm的⊙O₁，⊙O₂相交于A，B两点，且O₁O₂=6cm，过点A作⊙O₁的弦AC与⊙O₂相切，作⊙O₂的弦AD与⊙O₁相切．
（1）求证：AB²=BC•BD；
（2）两圆同时沿连心线都以每秒1cm的速度相向移动，几秒钟时，两圆相切？
（3）在（2）的条件下，三点B，C，D能否在同一直线上？若能，求出移动的时间；若不能，说明理由．

Answer

（1）由弦切角定理知，∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，故有△ABC∽△DBA，有AB：BD=BC：AB，即AB2=BC•BD；
（2）O1O2=4-3=1时，两圆内切，t=（6-1）÷2=2.5秒，当O1O2=7时，两圆外切，t=（6+7）÷2=6.5秒；
当O1O2=4-3=1时，两圆内切，t=（原来的圆心距+现在的圆心距）÷2=（6+1）÷2=3.5秒；
（3）若C，B，D在同一直线上，则应有∠ABC=∠ABD=90°，此时AC，AD分别是圆的直径，∠CAD也是直角；由勾股定理知CD=10，O1O2是△ACD的CD边对的中位线，O1O2=5，t=（6-5）÷2=0.5秒，或者t=（6-5+5）÷2=3秒．
（1）证明：∵CA是⊙O2的切线，DA是⊙O1的切线，
∴∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴AB：BD=BC：AB，
即AB2=BC•BD；

（2）【解析】
当O1O2=4-3=1时，两圆内切，t=（原来的圆心距-现在的圆心距）÷2=（6-1）÷2=2.5秒，
当O1O2=7时，两圆外切，t=（原来的圆心距+现在的圆心距）÷2=（6+7）÷2=6.5秒；
当O1O2=4-3=1时，两圆内切，t=（原来的圆心距+现在的圆心距）÷2=（6+1）÷2=3.5秒；

（3）【解析】
能，分两种情况：
①当AC是⊙O1的直径，AD是⊙O2的直径时，∠ABC=∠ABD=90°，
∵∠CAB=∠D，∠DAB=∠C，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=180°÷2=90°，
∴由勾股定理得CD=10cm，
∵圆心是直径的中点，
∴O1O2=CD÷2=5，t=（6-5）÷2=0.5秒；
②当t=（6+5）÷2=5.5秒时，三点B，C，D在同一直线上．