Question

（1）操作：如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）思考：如图1，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为______时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；如图3，当扇形纸板的圆心角为______时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（直接填空）
（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为______度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．

Answer

（1）如图，连接OA、OD，由正方形的性质证得△AOE≌△DOF，有AE=DF，即被纸板覆盖部分的总长度为AF+EA=AF+DF=AD=a为定值．
（2）在等边三角形△ABC中，连接OB，OB，当△OCE≌△OBD时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC为定值．此时∠DOE=∠BOC=120°；同理在正五边形中，∠FOG=∠DOE=72°
（3）由（1）（2）可以推得当在扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；此时正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，等于以正多边形一边与中心构成的三角形的面积，且为．
【解析】
（1）在正方形ABCD中，设扇形两半径交AB、AD分别于E、F，
作连接OA、OD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠AOD=90°．（1分）
∵扇形的圆心角∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠AOF=∠DOF+∠AOF，
∴∠AOE=∠DOF，（2分）
∴△AOE≌△DOF（ASA），（3分）
∴AE=DF．（4分）
所以被纸板覆盖部分的总长度为AF+EA=AF+DF=AD=a为定值．（5分）

（2）在等边三角形△ABC中，连接OB，OC，当△OCE≌△OBD时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC为定值．此时∠DOE=∠BOC=360°÷3=120°．
同理在正五边形中，∠FOG=∠DOE=360°÷5=72°．

（3）圆心角为，（8分）
是定值，被纸板覆盖部分的面积是．（10分）
故答案为：120°；72°；．