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如图1,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A作AE⊥AB,且A...

如图1,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A作AE⊥AB,且AE=15,连接BE交AC于点P.
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求r和R的变化范围.
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(1)根据已知,可判定△APE∽△CPB,从而得到相似比为PA:PC=AE:BC=3:1; (2)BE与⊙A相切,通过已知,可求得∠ABE=60°,从而可得到∠APB=90°,即BE与⊙A相切; (3)已知AD=5,AB=5,所以r的变化范围为5<r<5.因为没有说明两圆是内切还是外切,所以分两种情况进行分析. 【解析】 (1)∵在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5, ∴AC=2BC=10; ∵AE∥BC, ∴△APE∽△CPB, ∴PA:PC=AE:BC=3:1, ∴PA:AC=3:4,PA=. (2)BE与⊙A相切; ∵在Rt△ABE中,AB=5,AE=15, ∴tan∠ABE=, ∴∠ABE=60°; 又∵∠PAB=30°, ∴∠ABE+∠PAB=90°, ∴∠APB=90°, ∴BE⊥AP ∴BE与⊙A相切; (3)因为AD=5,AB=5,所以r的变化范围为5<r<5; 当⊙A与⊙C外切时,R+r=10,所以R的变化范围为10-<R<5; 当⊙A与⊙C内切时,R-r=10,所以R的变化范围为15<R<10+5.
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考点分析:
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(1)t为何值时,四边形APQD为矩形;
(2)如图,如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切.manfen5.com 满分网
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如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心、OA为半径的弧交⊙O于B、C,则BC=   
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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