Question

如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE•AC+BE•BD=    ．

Answer

连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解．
【解析】
连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE•CE=DE•EB
∴AE•AC+BE•BD=AC2-AC•CE+BD2-BD•DE
=100-BC2+100-AD2-AC•CE-BD•DE
=200-BE2+CE2-AE2+DE2-AC•CE-BD•DE
=200+（DE+BE）（DE-BE）+（CE+AE）（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200+BD（DE-BE）+AC（CE-AE）-AC•CE-BD•DE
=200-AE•AC-BE•BD，
∴AE•AC+BE•BD=100．