Question

如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S_△EBD：S_△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH-GF=HG，其中正确结论的个数有（ ）

A．只有①②③
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④

Answer

①根据三角形的面积公式S=ab•sinC可直接得出答案；
②根据角平分线的性质解答即可；
③根据平行线的性质和角平分线的性质，判断出∠HBD=∠HDB，根据等角对等边即可证出HB=HD，但根据现有条件不能的出HF与HB必然相等的结论；
④根据三角形角分线的性质，判断D为旁心，进而得出∠CFD=∠EFD，再根据平行线的性质，得出∠HDF=∠CFD，从而判断出∠GDF=∠DFE，于是可得，HB=HD，再通过等量代换和线段的加减法则即可得出结论．
【解析】
①正确．
因为S△EBD=BD•BE•sin∠EBD，S△FBD=BD•BF•sin∠DBF，
所以S△EBD：S△FBD=BD•BE•sin∠EBD：BD•BF•sin∠DBF，
因为BD是∠EBC的平分线，
所以sin∠EBD=sin∠DBF，
所以S△EBD：S△FBD=BE：BF；
②正确．
过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，
∵DE是∠AEF的平分线，
∴AD-DO，
∵DB是∠ABC的平分线，
∴DA=DN，
∴DO=DN，
∴DF是∠EFC的平分线，
∴∠EFD=∠CFD；
③错误．
因为HD∥BF，
所以∠HDB=∠FBD，
又因为BD平分∠ABC，
所以∠HBD=∠CBD，
于是∠HBD=∠HDB，
故HB=HD．
但没有条件说明HF与HB必然相等；
④正确．
由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，
故D为△BEF的旁心，
于是FD为∠EFC的平分线，
故∠CFD=∠EFD，
又因为DH∥BC，
所以∠HDF=∠CFD，
故∠GDF=∠DFE，
于是GF=GD，
又因为HB=HD，
所以HD-GD=HG，
即BH-GF=HG．
故①②④正确．
故选B．