Question

如图，点A是直线y=-2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标    ．

Answer

等腰直角三角形可以以A、B、C任意一个为直角顶点，所以分三种情况讨论．以A为直角顶点时AB=AC，以B为直角顶点时，由于AB⊥x轴，所以C点为原点，以C为顶点时，AC=BC，因A在直线上，AB⊥x轴，C在y轴，可列方程求得C点的坐标．
【解析】
以A、B、C为顶点的等腰直角三角形分为以A为直角顶点，以B为直角顶点，以C为直角顶点三种情况．
设A（x，y），B（x，0），C（0，c），
（1）以A为直角顶点，则AB、AC为等腰的两条边，
∴若y=x=c．
由A在直线y=-2x+3得：x=-2x+3
∴x=1，y=1故得C（0，1）．
若y=-x=c的情况，
∴-x=-2x+3，解得x=3，
C的坐标为（0，-3）

（2）以B为直角，则AB，BC为等腰的两条边，
∴C（0，0）．

（3）以C为直角，则AC，BC为等腰的两条边，
此时y2=2×（x2+c2），（y-c）2+x2=x2+c2，
又y=-2x+3，
∴联立解得：c=
故得C（0，）．
综上所诉：C的所有可能值为（0，1）（0，0）（0，-3）（0，）．