Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）

A．15
B．12
C．9
D．6

Answer

连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE∥BC，并且可知△ADE的高等于AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么△ADE的面积就可求．而所求S△FOG+S四边形ADOE=S△ADE+S△DOE+S△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S△FOG+S四边形ADOE的面积．
【解析】
如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，
∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=BC=×6=3，
∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH===4，
∴S△ADE=BC•=×3×=3，
设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b==2，
∴S△DOE+S△FOG=DE•a+FG•b=×3（a+b）=×3×2=3，
∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是
S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．
故选D．