Question

如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、C两点；分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，P为BC边上一动点．
（1）求C点的坐标；
（2）点P从点C出发沿着CB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，过点P作PE∥AC交AB于B，设运动时间为t秒，用含t的代数式表示△PBE的面积S；
（3）在（2）的条件下点P的运动过程中，将△PBE沿着PE折叠（如图所示），点B在平面内的落点为点D．当△PDE与△ABC重叠部分的面积等于时，试求出P点的坐标．

Answer

（1）结合图形，根据直线与x轴、y轴分别相交于A、C两点很容易求出点C的坐标．
（2）容易得出四边形OABC是矩形，根据性质得出BP的表达式，因为△BPE∽△BCA，求出BE表达式，进而求出△PBE的面积S．
（3）先求出D点在AC上的特殊位置时t的值，然后分两种情况求解．
【解析】
（1）当x=0时，y=6
∴点C的坐标为（0，6）；

（2）与x轴相交于点A（8，0）
∵∠AOC=90°，BA⊥OA，BC⊥OC
∴四边形OABC是矩形
∴BC=OA=8，AB=OC=6
∴BP=8-CP=8-t
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BCA
∴
∴
∴；

（3）设PD、DE与AC分别相交于点N、M，得，DP=BP=8-t，
∵PE∥AC
∴∠CNP=∠DPE，∠BPE=∠BCA
又∵∠BPE=∠DPE
∴∠CNP=∠PCN
∴PN=CP
∴当点P为CB的中点时，t=PN=CP=4，点D恰好落在CA上
①当0＜t≤4时，PN=CP=tDN=DP-t=8-2t
∵MN∥PE
∴
∴
∴S阴影=S△BPE-S△DMN=
解得，＞4（舍去）
∴P点的坐标为（，6）
②当4≤t＜8时，S阴影=S△BPE=
解得t3=6，t4=10＞8（舍去）
∴P点的坐标为（6，6）
即：当重叠部分的面积等于时，P点的坐标为（，6）或（6，6）