Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

Answer

（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得；EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．
（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．
（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB=EC．
∴∠3=∠4．
∵∠ACB=90°，
∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，
∴∠1=∠2．
∴AE=CE．
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．
∴AF=AE，
∴∠F=∠5，
∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥FE．
∴∠1=∠5．
∴∠1=∠2=∠F=∠5，
∴∠AEC=∠EAF．
∴AF∥CE．
∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）【解析】
当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°．
∴∠AEC=60°．
∴AC=EC．
∴平行四边形ACEF是菱形．

（3）【解析】
四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：
由（1）可知，∠2与∠3互余，
∠3≠0°，∴∠2≠90°．
∴四边形ACEF不可能是矩形．