Question

如果关于x的一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有两个相等的实数根，那么以a，b，c为三边的△ABC是什么三角形？请说明理由．

Answer

先把方程变为一般式：（a+c）x2+2bx+a-c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状．
【解析】
△ABC是以a为斜边的直角三角形．
理由如下：
去括号，整理为一般形式为：（a+c）x2+2bx+a-c=0，
∵关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0有两个相等的实数根．
∴△=0，即△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4（b2+c2-a2）=0．
∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．
所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．