Question

方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，若方程x²+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是    ．

Answer

由方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根，则△＞0，而△=4a2-4（a-4）=4（a2-a+4）=4[（a-）2+]，得a为任意实数，由方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，△′=4a2-4k＞0，即k＜a2；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求k的范围．
【解析】
∵方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根，
∴△＞0，而△=4a2-4（a-4）=4（a2-a+4）=4[（a-）2+]，
又∵方程x2+2ax+k=0有相异两实根，
∴△′=4a2-4k＞0，即k＜a2；
对于二次函数y1=x2+2ax+a-4，y2=x2+2ax+k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同得交点，要让y2与x轴两个交点都在y1与x轴两个交点之间，则要满足y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图，

则有k＞a-4，
所以k的取值范围是 a-4＜k＜a2．
故答案为a-4＜k＜a2．