Question

如图，半圆O的直径AD=12cm，AB、BC、CD分别与半圆O切于点A、E、D．
（1）线段AB、CD与BC之间有什么关系？并说明理由；
（2）设AB=x，CD=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如果AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）由CB、BA和CD都是半圆O的切线，由切线长定理得：CE=CD，BE=BA，所以：AB+CD=BC；
（2）过点B作BF⊥CD于F，由BA、CD是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，可得BA⊥AD，CD⊥AD，故BF=AD=12，DF=AB=x；在Rt△CFB中，BC2=BF2+FC2，可得出y与x之间的函数关系式；
（3）因为AB=4，代入函数关系式可得出y的值，由x、y可得出梯形和半圆的面积，由S阴=S梯-S半圆可得出阴影部分的面积．
【解析】
（1）AB+CD=BC．
∵CB、BA和CD都是半圆O的切线
由切线长定理得：
CE=CD，BE=BA
∴AB+CD=BC

（2）过点B作BF⊥CD于F，如图所示：

∵BA、CD是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，
∴BA⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=12，DF=AB=x，
∴CF=CD-DF=y-x；
∵BC=AB+CD=x+y，
在Rt△CFB中，BF2+CF2=BC2，
∴122+（y-x）2=（y+x）2，
∴y与x之间的函数关系式为：
．

（3）当AB=4时，即x=4，则，
∴CD=9cm，
∵cm2，cm2；
∴S阴=S梯-S半圆=（78-18π）cm2．