Question

如图1，已知直线l的解析式为，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．点C从点O出发沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点D从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点C、D同时出发，当点C到达点A时同时停止运动．伴随着C、D的运动，EF始终保持垂直平分CD，垂足为E，且EF交折线AB-BO-AO于点F．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点C、D的运动时间是t秒（t＞0）．
①用含t的代数式分别表示线段AD和AC的长度；
②在点F运动的过程中，四边形BDEF能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．（可利用备用图解题）

Answer

（1）已知直线的解析式，当x=0时，得出y=4，当y=0时，得出x=-3，即得出AB两点的解析式；（2）①C，D均是每秒1个单位的速度匀速运动，根据题意可简单求出；②根据实际情况分两种情况讨论当CD⊥AB时，当CD∥BO时．
【解析】
（1）直线的解析式为，
当x=0时，得出y=4，当y=0时，得出x=-3，
所以A（-3，0），B（0，4）；

（2）①因为C，D均是每秒1个单位的速度匀速运动，
所以AD=t，OC=t．
又∵A（-3，0），
∴OA=3，∴AC=3-t，
则AD=t，AC=3-t；
②能．
在Rt△ABE中，OA=3，OB=4，
根据勾股定理得：，
（i）如图1，当CD⊥AB时，
∵EF⊥CD，
∴EF∥AB，
∴四边形BDEF是直角梯形，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠A0B=90°，
又∵∠BAO=∠CAD，
∴△ADC∽△AOB，又AD=t，AC=3-t，
∴，即，
解得；
（ii）如图2，当CD∥BO时，EF⊥BO，∴四边形BDEF是直角梯形，
此时∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠AOB=90°，又∠DAC=∠BAO，
∴△ACD∽△AOB，又AB=t，AC=3-t，
∴，即，
解得．
综上所得，当或时，四边形BDEF是直角梯形．