Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，分别交直线CD于E、F．
（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=20cm，CD=10cm，求AE+BF的值．

Answer

（1）过点O作OG⊥CD于G，则AE∥OG∥BF，根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解．
（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，（1分）
∴=
又∵OA=OB，
∴==，
∴GE=GF，（2分）
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG=GD，（3分）
∴EG-CG=GF-GD，
即CE=DF；（4分）

（2）【解析】
连接OC，则OC=AB=10，（5分）
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG=CD=5，（6分）
∴OG=，（7分）
∵梯形ABFE中，EG=GF，AO=OB，
∴OG=（AE+BF），
∴AE+EF=2OG=．（8分）