Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标；______；
（2）方程ax²+bx+c=0的两个根是______；
（3）不等式ax²+bx+c＜0的解是______；
（4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是______；
（5）求出抛物线的解析式及顶点坐标．

Answer

（1）由图象可以知道抛物线的对称轴和与x轴一个交点坐标，由此即可求出另一个交点坐标；
（2）利用（1）即可得到方程ax2+bx+c=0的两个根；
（3）利用（1）的结论和图象即可得到不等式ax2+bx+c＜0的解；
（4）利用（1）的结论和图象即可得到y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（5）根据图象可以得到抛物线与坐标轴的三个交点坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，接着也可以求出顶点坐标．
【解析】
（1）依题意得抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；

（2）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（-1，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x=-1或x=3；

（3）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（-1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解是-1＜x＜3；

（4）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜1；

（5）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为（3，0），（-1，0），（0，-3），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把三个点的坐标代入其中得，
解之得，
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4）．