Question

如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．

Answer

（1）因为△ABC是等腰直角三角形，从而可得到∠A=∠B=45°，再根据外角的性质得到∠AEM=∠BMG，从而可根据有两组角相等的两个三角形相似，得到△AEM∽△BMG，同理可证明△FEM∽△FMA．
（2）根据勾股定理可求得AB的长，从而可得到AM，BM的长，再根据相似三角形的判定及性质，根据相似比即可求得EG的长．
【解析】
（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下证明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=．（1分）
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=．
∵△AME∽△BGM，
∴．
∴．（2分）
∴，CE=4-3=1．（2分）
∴．（1分）