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如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起,A为公共...

如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和ADE摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠ADE=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△ADE绕点A旋转,AE、AD与边BC的交点分别为F、G (点F不与点C重合,点G不与点B重合),设BF=a,CG=b.
(1)请在图(1)中找出两对相似但不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求b与a的函数关系式,直接写出自变量a的取值范围.
(3)以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图2).若BG=CF,求出点G的坐标,猜想线段BG、FG和CF之间的关系,并通过计算加以验证.
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(1)找到有公共角的和45°角的两个三角形即可; (2)易得△ACG∽△FBA,利用相似三角形的对应边成比例可得b与a的函数关系式,根据点F与点C重合时a为1,点G与点B重合时,a为2可得a的取值; (3)结合(3)的条件和(2)的结论可得a,b的值,进而计算可得G、F的坐标,分别表示出BG、FG和CF的长度,看有什么等量关系即可. 【解析】 (1)△ACG∽△FAG,△FAG∽△FBA. ∵∠GAF=∠C=45°, ∠AGF=∠AGC, ∴△ACG∽△FAG.类似证明△FAG∽△FBA; (2)∵∠CAG=∠CAF+45°,∠BFA=∠CAF+45°, ∴∠CAG=∠BFA. ∵∠B=∠C=45°, ∴△ACG∽△FBA, ∴. 由题意可得CA=BA=. ∴.∴. 自变量a的取值范围为1<a<2. (3)由BG=CF可得BF=CG,即a=b. ∵, ∴. ∵OB=OC=BC=1, ∴OF=OG=-1. ∴G(,0). 线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2; ∵BG=OB-OG=, FG=BC-2BG=. ∵,. ∴BG2+CF2=FG2.
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考点分析:
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如图,△ABC中,∠BAC=90°,AC=2,AB=manfen5.com 满分网,△ACD是等边三角形.
(1)求∠ABC的度数.
(2)以点A为中心,把△ABD顺时针旋转60°,画出旋转后的图形.
(3)求BD的长度.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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