Question

如图，正方形ABCD的边长为5cm，动点P从点C出发，沿折线C-B-A-D向终点D运动，速度为acm/s；动点Q从点B出发，沿对角线BD向终点D运动，速度为cm/s．当其中一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．当点P、点Q同时从各自的起点运动时，以PQ为直径的⊙O与直线BD的位置关系也随之变化，设运动时间为t（s）．
（1）写出在运动过程中，⊙O与直线BD所有可能的位置关系______；
（2）在运动过程中，若a=3，求⊙O与直线BD相切时t的值；
（3）探究：在整个运动过程中，是否存在正整数a，使得⊙O与直线BD相切两次？若存在，请直接写出符合条件的两个正整数a及相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为直径PQ与直线BD有一个交点，直线与圆不可能相离；
（2）运动过程中，已知∠PBQ=45°，直线与圆相切时，PQ⊥BD，围绕等腰直角三角形的两边关系，建立方程求解；
（3）根据题目的限制条件t＜5，根据（2）得出一般结论，再根据限制条件求a的范围．
【解析】
（1）点Q为直线BD上的点，PQ为直径，⊙O与直线BD的位置关系只可能是：相切、相交；

（2）当P点在BC上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切，
△BQP为等腰直角三角形，BQ=PB，即×t=5-3t，
解得t1=1，
当P点在AB上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切，
△BQP为等腰直角三角形，BQ=PB，即×t=3t-5，
解得t2=5（舍去），
当P点在AD上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切，
△BQP为等腰直角三角形，BQ=PB，即2t=15-3t，
t3=5（舍去）；
故t=1时，⊙O与直线BD相切．

（3）存在，由（2）可知，（a+2）t=5，或者（a-2）t=5，
且t＜5，故a≥4且a为正整数，t1=，t2=．