Question

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

Answer

（1）根据所建坐标系知顶点P和与X轴交点M的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是0≤x≤12；
（2）根据对称性当车宽2.5米时，x=3或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高5米进行比较得出结论；
（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点A或点B的坐标表示三段的长度从而得出表达式．
【解析】
（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
∴a（0-6）2+6=0，解得a=-，
∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）2+6，
即y=-x2+2x．（0≤x≤12）

（2）当x=6-0.5-2.5=3（或x=6+0.5+2.5=9）时
y=4.5＜5
故不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆．

（3）设点A的坐标为（m，-m2+2m）
则OB=m，AB=DC=-m2+2m
根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，
故BC=12-2m，即AD=12-2m
令L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+15
故当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．