Question

已知角A是锐角，且tanA、cotA是关于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）问：角A能否等于45°？请说明你的理由．

Answer

（1）根据tanA•cotA=1和根与系数的关系x1•x2=，列出关于k的方程求解，注意角A是锐角，所以tanA＞0，cotA＞0，
所以x1+x2=＜0，然后可以确定k的值；
（2）若A=45°，则tanA=cotA=1，即方程的解是x=1，代入方程x2-4x+4-3=0的左右两边不相等，即1不是方程的解，说明A不能取45°．
【解析】
（1）依题意得tanA•cotA=k2-3，
即1=k2-3，k2=4，
∴k=±2．
由∠A是锐角知tanA＞0，cotA＞0．
∴2k=-（tanA+cotA）＜0，
即k＜0，
∴k=-2，
此时方程的根的判别式△=（-4）2-4[（-2）2-3]=12＞0，
所以方程有实数根，
∴k=-2；

（2）若A=45°，则tanA=cotA=1，
将x=1代入方程x2-4x+4-3=0，
左边=1-4+1=-4≠0
∴1不是方程的根，
∴A不能取45°．