Question

如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，若sin∠ADB的值是一元二次方程25x²-35x+12=0的一个根．
（1）求AD、AB的值．
（2）若EC+CF=8，S_△AEF=48时，求EF的长．

Answer

（1）用十字相乘法因式分解求出方程的根，由正弦值求出AB的长，由勾股定理求出AD的长．（2）设EC的长为y，由s△AEF=SABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF，得到关于y的一元二次方程，先求出y，再用勾股定理求出EF的长．
【解析】
（1）（5x-3）（5x-4）=0
∴x1=，x2=．
∵AD＞AB，∴x==，∴AB=BD=×20=12．
AD===16．
故AD=16，AB=12．

（2）设EC=y，则CF=8-y，BE=16-y，DF=12-（8-y）=4+y，
S△AEF=12×16-×12×（16-y）-×16×（4+y）-y（8-y）=48
方程整理得：
y2-12y+32=0
（y-4）（y-8）=0
∴y1=4，y2=8．
当y=4时，EF==4．
当y=8时，点F与点C重合，此时EF=8．