Question

如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其中两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上都种花，在矩形EFGH上兴建喷泉．当FG长为多少米时，喷泉面积恰好等于锐角三角形ABC的一半，并求出此时种草的面积和种花的面积各是多少平方米？

Answer

易得△AHG∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得HG的代数式，进而根据矩形HEFG是△ABC面积的一半可得FG的长，进而求得AK，HG的长，利用直角三角形的面积公式可得△AHG的面积，进而让△ABC面积的一半减去△AHG的面积即为种花的面积．
【解析】
设FG=x米，则AK=（80-x）米．
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=，
=
解得HG=-1.5x+120，
∵HG×FG=S△ABC，
∴（-1.5x+120）x=××120×80，
解得x=40，
∴AK=40，HG=-1.5x+120=60，
∴S△AHG=×40×60=1200平方米，
∴种花的面积××120×80-1200=1200平方米．
答：当FG为40米时，喷泉面积恰好等于锐角三角形ABC的一半，种花和种草的面积均为1200平方米．