Question

抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=2，且与x轴有两个交点为A、B．（1）当线段AB=2时，求c的值；（2）△APB的高小于1（P为抛物线的顶点）时，求c的取值范围．

Answer

（1）根据抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，线段AB的长为2，推出A、B的坐标，求出抛物线解析式，进而求出c的值；
（2）现根据称轴为x=2，求出b的值，再求出△APB的高等于1时c的值，再通过图形变化直接得出c的值．
【解析】
（1）抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，线段AB的长为2，
可得A（1，0），B（3，0）．
将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得，
，
②-①得，8+2b=0，
解得b=-4，
代入①解得，c=3．
故c的值为3．

（2）∵对称轴为x=2，
∴-=2，b=-4，
故解析式可化为y=x2-4x+c，
当△APB的高等于1时，
P点坐标为（2，-1），
将P（2，-1）代入解析式得，
4-8+c=-1，
解得c=3．
即C点坐标为（0，3）．由图可知，当△APB的高小于1时，0＜c＜3．
如图所示：