Question

某机械厂有大量直角三角形铁板余料，已知∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°现将这种三角形余料进行加工裁剪成扇形（如图甲）和半圆形（如图乙、丙）的零件垫片，图甲中D为切点，图乙中C、D为切点，图丙中D、E为切点．

（1）分别求出三种情形下零件垫片的面积；
（2）哪种裁剪方式可使余料再利用最好．

Answer

（1）先根据直角三角形的性质求得直角边BC、AC的长，然后分别计算甲、乙、丙三种裁剪方式所得扇形的面积．
①甲：连接CD，利用直角三角形的面积作为相等关系求得扇形的半径后可求得扇形的面积；
②乙：连接OD，利用△BOD∽△BAC得到OD：AC=OB：AB，列关于半径的方程r：5=（5-r）：10，即可求得半径，从而求得扇半圆的面积；
③丙：连接OD，OE，利用△AOD∽△ABC可得AD：AC=OD：BC，列出关于半径的方程（5-r）：5=r：5，解方程求得半径，再求出半圆的面积即可．
（2）通过比较（1）中所求三种扇形的面积大小，可知丙所裁得的扇形的面积最大，所以丙的裁剪方式可使余料再利用最好．
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°
∴AB=10，BC=5；
①甲：连接CD，
∵D为切点
∴扇形的半径r=CD
∴10CD=5×5
即CD=
∴S=CD2π=π≈4.69π  cm2；
②乙：连接OD，
∵C、D为切点
∴扇形的半径r=OD=OC，且OD⊥AB
∴△BOD∽△BAC
∴OD：AC=OB：AB
即r：5=（5-r）：10
解得r=
∴S=×π=π≈4.17πcm2；
③丙：连接OD，OE，
∵D、E为切点
∴扇形的半径r=OD=OE
∴△AOD∽△ABC
∴AD：AC=OD：BC
即（5-r）：5=r：5
解得r=
∴S=πr2=π≈5.02πcm2；

（2）由（1）可知，这三种裁剪方式中，丙所裁得的扇形的面积最大，从材料的利用率方面来看丙的裁剪方式可使余料再利用最好．