Question

如图：AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O₁与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：AD=DC；
（2）求证：DE是⊙O₁的切线；
（3）如果OE=EC，请判断四边形O₁OED是什么四边形，并证明你的结论．

Answer

（1）连OD可得OD⊥AC，又有OA=OC，所以第一问可求解；
（2）证明O1D⊥DE即可；
（3）如果OE=EC，又D为AC的中点，所以四条边相等，再根据角之间的关系，即可得出其形状．
证明：（1）连接OD，
∵AO为圆O1的直径，
则∠ADO=90°．
∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，
∴AD=DC．（3分）

（2）∵D为AC的中点，O1为AO的中点，
∴O1D∥OC．
又DE⊥OC，
∴DE⊥O1D
∴DE与⊙O1相切．（6分）

（3）如果OE=EC，又D为AC的中点，
∴DE∥O1O，又O1D∥OE，
∴四边形O1OED为平行四边形．
又∠DEO=90°，O1O=O1D，
∴四边形O1OED为正方形．（10分）