Question

红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y₁（万千克）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）满足函数关系式y₁=0.5x+11、经市场调查发现：该食品市场需求量y₂（万千克）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．
（1）求y₂与x的函数关系式；
（2）当销售价格为多少时，产量等于市场需求量？
（3）若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W（万元）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）之间的函数关系式．

Answer

（1）根据函数图象得到直线上的两个点（10，4），（2，12）代入函数关系式，利用待定系数法求解即可；
（2）令y1=y2，解方程即可求解；
（3）要考虑到“当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁”那么所得利润=需求量×每千克的利润-剩余量×成本，把相关数值代入即可求解．
【解析】
（1）设y2=kx+b，把点（10，4），（2，12）代入函数关系式得

解得
所以y2=-x+14；

（2）当y1=y2时
0.5x+11=-x+14
解得x=2
即当销售价格为2元时，产量等于市场需求量；

（3）由（2）可知2＜x≤10时，产品的产量大于市场需求量，则
w=y2（x-2）-2（y1-y2）
=（-x+14）（x-2）-2（0.5x+11+x-14）
=-x2+13x-22．（2≤x≤10）．