Question

如图，已知BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE．
（1）求证：=；
（2）如果sin∠FBC=，AB=4，求AD的长．

Answer

（1）求得∠C=∠ABF，通过同圆中相等的圆周角对应的弧相等，可证明=；
（2）利用sin∠FBC=，AB=4，设DE=3x，BE=AE=5x，BD=4x，利用Rt△ABD中的勾股定理列方程求解即可AD=8x=8．
（1）证明：连接AF、AC，则∠F=∠C，
∵AE=BE，
∴∠DAB=∠ABE．
∵∠BAD=∠C=90°-∠ABD，
∴∠C=∠ABF．
∴=．

（2）【解析】
∵sin∠FBC=，AB=4，
∴设DE=3x，BE=AE=5x，BD=4x．
在Rt△ABD中，（8x）2+（4x）2=AB2=80
解得x=1．
所以AD=8x=8．