Question

m为何值时，方程x²+mx-3=0与方程x²-4x-（m-1）=0有一个公共根？并求出这个公共根．

Answer

如果设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α；方程x2-4x-（m-1）=0的两根为α、4-α．再根据两根之积的表达式，可知α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1）②．联立①②，即可求出α、m的值．
【解析】
设这个公共根为α．
则方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α；方程x2-4x-（m-1）=0的两根为α、4-α，
由根与系数的关系有：α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1） ②．
由②得 m=1-4α+α2③，
把③代入①得：α3-3α2+α-3=0，
即（α-3）（α2+1）=0，
∴α=3．
把α=3代入③得：m=-2．
∴当m=-2时，两个方程有一个公共根，这个公共根是3．