Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．即===，BE=AO=3，CE=OB=故点C的坐标为（t+3，）．由于AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC=AB•BC=BC2．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=CE2+BE2=t2+9，即S△ABC=t2+9．
（3）①当t≥0时Ⅰ，若AD=BD．由于BD∥y轴，故∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，所以∠OAB=∠BAD．因为∠AOB=∠ABC，所以△ABO∽△ACB，故==，即=，∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．延长AB与CE交于点G，由于BD∥CG∴AG=AC过点A画AH⊥CG于H．CH=HG=CG，由△AOB∽△GEB，
得=，故GE=．由于HE=AO=6，CE=，t2-24t-36=0，解得：t=12±6．因为t≥0，所以t=12+6，即B（12+6，0）．
Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为锐角，故BD≠AB．当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．故当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．可求得点C的坐标为（t+3，），
∴CF=OE=t+3，AF=6-，由BD∥y轴，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB故∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴=，求得t的关系式t2-24t-36=0，解得：t=12±6．因为-3≤t＜0，所以t=12-6，即B（12-6，0）．
③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标（t+3，），故CF=-（t+3），AF=6-，由于AB=BD，故∠D=∠BAD．又因为BD∥y轴，故∠D=∠CAF，∠BAC=∠CAF．又因为∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，所以△ABC≌△AFC，故AF=AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6-=-2（t+3），解得：t=-8，即B（-8，0）．
【解析】
（1）当t=4时，B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-x+6．

（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴===，
∴BE=AO=3，CE=OB=，
∴点C的坐标为（t+3，）．
方法一：
S梯形AOEC=OE•（AO+EC）=（t+3）（6+）=t2+t+9，
S△AOB=AO•OB=×6•t=3t，
S△BEC=BE•CE=×3×=t，
∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC
=t2+t+9-3t-t
=t2+9．

方法二：
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S△ABC=AB•BC=BC2．
在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2=t2+9，
即S△ABC=t2+9．

（3）存在，理由如下：
①当t≥0时，
Ⅰ．若AD=BD，
又∵BD∥y轴，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴==，
∴=，
∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延长AB与CE交于点G，
又∵BD∥CG，
∴AG=AC，
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH=HG=CG，
由△AOB∽△GEB，
得=，
∴GE=．
又∵HE=AO=6，CE=，
∴+6=×（+），
∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6．因为t≥0，
所以t=12+6，即B（12+6，0）．
Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为锐角，故BD≠AB．
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．
可求得点C的坐标为（t+3，），
∴CF=OE=t+3，AF=6-，
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴=，
∴=，
∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6．因为-3≤t＜0，
所以t=12-6，即B（12-6，0）．
③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为（t+3，），
∴CF=-（t+3），AF=6-，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6-=-2（t+3），
解得：t=-8，即B（-8，0）．
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，
此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6，0），B3（12-6，0），B4（-8，0）．