Question

已知，如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过C的直线：y=-2x-8与y轴交于P．
（1）求证：PC是⊙D的切线；
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOC=4S_△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求证PC是⊙D的切线，可以先连接DC然后证明垂直即可，由CP所在直线的解析式，我们可得出C，P两点的坐标，就能得出DP，CP的长，只需要求出CD的长．根据勾股定理判定三角形DCP是否为直角三角形即可，那么关键是求出DC的长，有了D的坐标，也求出了C的坐标，那么CD的长就能求出来了．
（2）由于三角形OCD和OCE公用了一条OC边，那么比较它们的面积只需比较E，D两点的纵坐标的绝对值即可．根据S△EOC=4S△CDO，那么E点的纵坐标必为4或-4；根据CP的函数式，可以求出E点的横坐标，这样就能求出E点的坐标了．
（1）【解析】
∵PC的直线方程为：y=-2x-8，
∴C（-2，0），P（0，-8）．
∴OC=2，OP=8，
PC=，
CD=，
PD=OP+OD=8+1=9，
PD2=92=81，CD2+PC2=9+72=81．
∴PD2=CD2+PC2．
∴△DCP为直角三角形，∠DCP=90°，DC⊥PC，CD为半径．
∴PC为⊙D的切线．

（2）【解析】
设E（r，y），
∴S△OCE=4S△CDO．
∴×OC×|y|=4×OC×OD，
|y|=4OD=4．
∴y=±4，E1（-3，4），E2（-，-4）．