Question

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：DF=AD；
（2）过点F作FH⊥AB，垂足为点H，求证：FH+AC=AD；
（3）如图2，将∠ADC绕顶点D旋转一定的角度后，DC边所在的直线与BC边交于点C₁（不与点B重合），DA边所在的直线与BA边的延长线交于点A₁． A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于点F₁，过点F₁作F₁H₁⊥AB，垂足为H₁，试猜想F₁H₁、A₁C₁与AD三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer

（1）根据正方形的对角线平分每一组对角∠DAC=∠ABD=45°，再根据角平分线的定义∠CAF=∠BAF，所以∠DAF=∠DFA，根据等角对等边的性质，DF=AD；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等FH=FO，又OD=BD=AC，所以FH+AC=DF=AD；
（3）同（1）利用三角形全等证出A1D=DF1，根据等腰直角三角形A1DC1的直角边与斜边的关系，从而得出A1C1=DF1，又等腰直角三角形F1H1B中，F1H1=F1B，两式相加即可得到F1H1+A1C1=DB，而AD=BD，所以三者存在F1H1+A1C1=AD．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠ABD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF，
而∠DAF=∠DAC+∠FAC，∠DFA=∠ABD+∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD；

（2）证明：∵正方形ABCD，
∴FO⊥AC，AC=OD，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，
∴FH=FO，
∴FH+AC=FO+OD=DF=AD，
即FH+AC=AD．

（3）猜想：F1H1+A1C1=AD．
理由：∵AD=CD，∠ADC=∠A1DC1，
∴∠A1DA=∠C1DC，
∴△A1AD≌△C1CD，
∴△A1C1D是等腰直角三角形，
∵A1F1平分∠BA1C1，
∴∠BA1F1=∠F1A1C1
而∠DA1F1=45°+∠F1A1C1，∠DF1A1=45°+∠BA1F1，
∴∠DA1F1=∠DF1A1，
∴A1D=DF1，
∴A1C1=A1D=DF1，
又∵在等腰直角三角形F1H1B中，F1H1=F1B，
∴F1H1+A1C1=F1B+DF1=DB=AD．
即F1H1+A1C1=AD．