Question

下列命题：（一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数））
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；其中不正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

Answer

（1）由a+b+c=0，得b=-（a+c），所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，则①对；
（2）若a=-1，b=2，c=-3，则有b＞a+c，但是△=b2-4ac=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，即一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则②错；
（3）由b=2a+3c，△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2，通过分析a，c的值可得△＞0，即一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则③对．
【解析】
（1）∵a+b+c=0，得b=-（a+c），
∴b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①对；
（2）若取a=-1，b=2，c=-3，满足b＞a+c，但是△=b2-4ac=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，即一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，
所以②错；
（3）∵b=2a+3c，
∴△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2，
因为a≠0，所以当c=0，△=4（a+c）2+5c2＞0；
当c≠0，△=4（a+c）2+5c2＞0，即一元二次方程ax2+bx+c=0总有两个不相等的实数根，所以③对．
故选A．