Question

如图，P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P₃，P₄，…，P_n，…，记纸板P_n的面积为S_n，试通过计算S₁，S₂，猜想得到S_n-1-S_n=    （n≥2）．

Answer

由P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，得到S1=π×12=π，S2=π-π×（）2．同理可得Sn-1=π-π×（）2-π×[（）2]2-…-π×[（）n-2]2，Sn=π-π×（）2-π×[（）2]2-…-π×[（）n-2]2-π×[（）n-1]2，它们的差即可得到．
【解析】
根据题意得，n≥2．
S1=π×12=π，
S2=π-π×（）2，
…
Sn-1=π-π×（）2-π×[（）2]2-…-π×[（）n-2]2，
Sn=π-π×（）2-π×[（）2]2-…-π×[（）n-2]2-π×[（）n-1]2，
∴Sn-1-Sn=π×（）2n-2=（）2n-1π．
故答案为（）2n-1π．