Question

已知抛物线y=-x²+mx-m+2．
（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=，试求m的值；
（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．

Answer

（1）让y=0，利用根与系数的关系表示出较大的根减去较小的根，求解即可；
（2）在求△CMN的面积时，要结合图象，已知条件，可以发现S△COM=S△CON．而△MNC的面积等于S△COM+S△CON．
【解析】
（1）设点A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程-x2+mx-m+2=0的两根．
∵x1+x2=m，x1•x2=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x1-x2|=，
∴m2-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值为1．

（2）设M（a，b），则N（-a，-b）．
∵M、N是抛物线上的两点，
∴
①+②得：-2a2-2m+4=0，
∴a2=-m+2，
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N，
∴．
这时M、N到y轴的距离均为，
又∵点C坐标为（0，2-m），而S△MNC=27，
∴2××（2-m）×=27，
解得m=-7．