Question

已知：抛物线y=ax²+2x+c，对称轴为直线x=-1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A（-3，0）、B两点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）P为抛物线上一点，若以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，求点P的坐标．

Answer

（1）由对称轴为直线x=-1，与x轴交于A（-3，0）、B两点，求出a的值与B点的坐标，进而求出C点的坐标，再求出直线AC的解析式；
（2）将四边形ABCD面积用同一未知数表示，求出二次函数的最值即可，
（3）以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，作出图形，由三角形相似求出P点的坐标．
【解析】
（1）∵对称轴
∴a=1∵A（-3，0）∴c=-3
设直线AC的解析式为y=kx+b
∵A（-3，0），C（0，-3），代入得：
直线AC的解析式为y=-x-3

（2）代数方法一：
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N．
设D（x，x2+2x-3），则M（x，-x-3）
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=
=
=
=
∴当时，四边形ABCD面积有最大值．
代数方法二：S四边形ADCB=S△ADN+S梯形NDCO+S△OBC
=
=
∴当时，四边形ABCD面积有最大值．
几何方法：
过点D作AC的平行线l，设直线l的解析式为y=-x+b．
由得：x2+3x-b-3=0
当△=32-4（-b-3）=0时，直线l与抛物线只有一个公共点
即：当时，△ADC的面积最大，四边形ABCD面积最大
此时公共点D的坐标为
S四边形ADCB=S△ADN+S梯形NDCO+S△OBC

=
即：当时，四边形ABCD面积有最大值．

（3）如图所示，因为A（-3，0），抛物线对称轴为直线x=-1，
由抛物线的轴对称性可求得B（1，0），
∵以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，
∴过点B作BC的垂线交抛物线于一点，则此点必为点P．
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴PB=BC，PE=OB，
∴Rt△PEB∽Rt△BOC
∴，故EB=3PE，
设P（x，x2+2x-3），∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=x2+2x-3，则1-x=3（x2+2x-3），
解得x1=1（不合题意舍去），，
∴P点的坐标为：．