Question

若a、b、c是△ABC的三边，a+c=2b，且方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实数根，sinA+sinB+sinC的值．

Answer

先把方程化为一般形式，利用方程有两个相等的实数根，则△=0，得到a2+b2=c2，△ABC是以c为斜边的直角三角形；利用正弦的定义把sinA+sinB+sinC化为边的关系；又由a+c=2b和a2+b2=c2，求出三边的关系；最后计算sinA+sinB+sinC的值．
【解析】
将方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0化为一般形式为（c-a）x2+2bx+c+a=0，因为它有两个相等的实数根，所以c-a≠0，△=0，即4b2-4（c-a）（c+a）=0，a2+b2=c2．
所以△ABC是以c为斜边的直角三角形．
则有sinA+sinB+sinC=++1=+1，
又∵a+c=2b，则c=2b-a，代入a2+b2=c2，得3b=4a，令a=4t，则b=3t，c=5t，
∴sinA+sinB+sinC=+1=+1=．