Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2，tan²A+tan²B=，∠A＞∠B，点P在斜边AB上移动，连接PC，
（1）求∠A的度数；
（2）设AP为x，CP²为y，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（3）求证：AP=1时，CP⊥AB．

Answer

（1）如果设BC=x，那么在Rt△ABC中，由正切函数的定义，可知tanA=，tanB=，把它们分别代入tan2A+tan2B=，得到一个关于x的分式方程，解此方程，可求出x的值，再根据x的实际意义及大角对大边确定x的值，从而求出tanA，得出∠A的度数；
（2）如果过点C作CD⊥AB于D，则AD=1．此时发现P点的位置可分两种情况：①点P在线段AD上即0≤x≤1；②点P在线段DB上即1≤x≤4．针对每一种情况，都是在直角△CDP中，运用勾股定理，得出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（3）首先把AP=1即x=1代入（2）中求出的y关于x的函数解析式中，求出y的值，然后在△ACP中，运用勾股定理的逆定理证出CP⊥AB．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，设BC=x．
则tanA=，tanB=．
∵tan2A+tan2B=，
∴+=，
去分母，得3x4-40x2+48=0，
∴（x2-12）（3x2-4）=0，
∵x＞0，
∴x=2或．
经检验，x=2或都是原方程的根．
又∵∠A＞∠B，
∴BC＞AC，
即x＞2，
∴x=2．
∴tanA==，
∴∠A=60°；

（2）如图，过点C作CD⊥AB于D，则AD=1，CD=．
P点的位置分两种情况：
①当点P在线段AD上时，0≤x≤1．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=，DP=AD-AP=1-x，
由勾股定理，得CP2=CD2+DP2，
∴y=3+（1-x）2，
∴y=x2-2x+4；
②当点P在线段DB上时，1≤x≤4．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=，DP=AP-AD=x-1，
由勾股定理，得CP2=CD2+DP2，
∴y=3+（x-1）2，
∴y=x2-2x+4；
综上，可知y=x2-2x+4（0≤x≤4）．

（3）∵y=x2-2x+4，
当AP=1即x=1时，
y=12-2×1+4=3，即CP2=3．
在△ACP中，∵AP=1，AC=2，CP2=3，
∴AP2+CP2=1+3=4=AC2，
∴CP⊥AB．